Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 3 cách

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là một trong những bất đẳng thức quan trọng nhất trong toán học:

$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)$

Cách 1: Chứng minh đại số

Xét hàm số $f(t) = \sum_{i=1}^n (a_i t - b_i)^2 \geq 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.

Khai triển ra:

$f(t) = \left(\sum a_i^2\right)t^2 - 2\left(\sum a_i b_i\right)t + \sum b_i^2 \geq 0$

Đây là tam thức bậc hai không âm, nên delta $\leq 0$:

$\Delta = 4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \leq 0$

Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Cách 2: Chứng minh bằng vector

Trong không gian $\mathbb{R}^n$, gọi $\mathbf{a} = (a_1, \ldots, a_n)$ và $\mathbf{b} = (b_1, \ldots, b_n)$.

Ta có:

$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| |\cos\theta| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|$

Viết lại dưới dạng tọa độ:

$\left|\sum a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum a_i^2} \cdot \sqrt{\sum b_i^2}$

Cách 3: Lagrange Identity

Đồng nhất thức Lagrange:

$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) - \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n}(a_i b_j - a_j b_i)^2$

Vì vế phải $\geq 0$, bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a_i b_j = a_j b_i$ với mọi $i, j$, tức là $\mathbf{a}$ và $\mathbf{b}$ tỉ lệ với nhau.