Bài tập đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao

Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của giải tích. Dưới đây là một số bài tập cơ bản.

Công thức cần nhớ

Trước khi làm bài tập, hãy ôn lại các công thức đạo hàm cơ bản:

$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x, \quad \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x, \quad \frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$

Bài tập 1: Đạo hàm đa thức

Tìm đạo hàm của $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc lũy thừa cho từng hạng tử:

$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$

Bài tập 2: Quy tắc tích

Tìm đạo hàm của $f(x) = x^2 \sin x$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc tích $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$

Bài tập 3: Quy tắc thương

Tìm đạo hàm của $f(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{e^x(x^2 + 1) - e^x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(x^2+1)^2}$

Bài tập 4: Đạo hàm hàm hợp

Tìm đạo hàm của $f(x) = \sin(3x^2 + 1)$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule):

$f'(x) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2 + 1)$